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TD : Complexes

Feuille d'accompagnement

Exercice 4

> seq(abs((1+I)^(2*i)),i=0..6);

> seq(argument((1+I)^(2*i)),i=0..6);

> j:=exp(2*I*Pi/3);

> seq(abs((1+j)^(2*i)),i=0..6);

> seq(argument(evalc((1+j)^(2*i))),i=0..6);

> z:=(1-I*sqrt(3))/(1+I);

> evalc(z^1515);

> abs(");argument("");

> (sqrt(2))^1515;

> z_4:=simplify(evalc((1+I*tan(alpha))^2/(1+(tan(alpha))^2)));

> abs(z_4),argument(z_4);

> alpha:=Pi/1789;

> simplify((abs(z_4))),argument(evalc(z_4));

Je n'ai pas réussi à faire mieux... mais on connait bien ses formules trigo...

> z6:=(1+sin(theta)+I*cos(theta))/(1+sin(theta)-I*cos(theta));

> evalc(z6);

> simplify(");

Exercice 6

> expand(cos(3*theta)*sin(6*theta));

Exercice 7

> seq(combine(cos(theta)^(2*p),trig),p=0..5);

> seq(combine(cos(theta)^(2*p+1),trig),p=0..5);

> seq(combine(sin(theta)^(2*p),trig),p=0..5);

> seq(combine(sin(theta)^(2*p+1),trig),p=0..5);

Exercice 9

> toto:=cos(Pi/11)+cos(3*Pi/11)+cos(5*Pi/11)+cos(7*Pi/11)+cos(9*Pi/11);

> combine(toto,trig);

> evalf(toto);

Ce n'est pas une preuve, mais c'est convaincant...

Exercice 10

> solve(z^2=2+I);

Tout taupin surpris à écrire cela sera trucidé : les auteurs de Maple savent ce qu'ils disent en racontant cela; le taupin (en général) non.

> evalc({"});

${1/2*(4+2*5^(1/2))^(1/2)+1/2*I*(-4+2*5^(1/2))^(1/2)...$

> solve(z^2=4*I-3);

> solve(z^2=8*I-15);

> solve(z^2=9+40*I);

Exercice 11

> s1:=solve(27*(z-I)^6-(z+I)^6);

gloups...

> seq(simplify(evalc(I*(1/sqrt(3)*exp(k*I*Pi/3)+1)/(1-1/sqrt(3)*exp(k*I*Pi/3)))),k=0..6);

> simplify({"});

${(3+2*I)/(4+3^(1/2)), -I*(-3+3^(1/2))/(3+3^(1/2)), ...$

> r:=simplify(evalc(I*(1/sqrt(3)*exp(I*Pi/3)+1)/(1-1/sqrt(3)*exp(I*Pi/3))));

> radsimp(",'ratdenom');

> expand(");

> s2:=seq(expand(radsimp(simplify(evalc(I*(1/sqrt(3)*exp(k*I*Pi/3)+1)/(1-1/sqrt(3)*exp(k*I*Pi/3)))),'ratdenom')),k=0..6);

Ouf...

> evalb({s1}={s2});

Cette vérification n'était pas inutile : dans un premier temps, une erreur s'était glissée dans mon calcul...

Exercice 12

> solve((I-1)*z^3-(5*I-11)*z^2-(43+I)*z+9+37*I=0);

Exercice 13

> solve(z^4+z^3+z^2+z+1=0);

Sans intérèt...

> solve(x^2+x-1);

> evalf({"});

> evalf(2*cos(2*Pi/5));

Exercice 14

> j:=exp(2*I*Pi/3);

> solve({x+y+z=a,x+j*y+j^2*z=b,x+j^2*y+j*z=c},{x,y,z});

> x;

> assign("");

> x,y,z;

> Im(y);

> assume(a,real):assume(b,real):assume(c,real):

> Im(y);

> solve({Im(x)=0,Im(y)=0,Im(z)=0});